函数的三种表示方法教案
【导语】本文是网友“jzsdc0”分享的函数的三种表示方法教案（共5篇），以供参考。
函数及其表示方法
一、目标认知
学习目标：
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情
境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．
二、知识要点梳理
1.函数的三种表示法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点
二、映射与函数 1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).2.函数：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.7.求函数的解析式
(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则?t?1?
?f?t????,?f?2?2
2?x?1??x????;
?2?
(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1
即：f(x)=2x-4x+
【变式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；
(2)已知：
2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4
总结升华：求函数解析式常用方法：
f[f(-1)]=f(4)=16.；
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.? y?x?2
y?2x?4x?3?0?x2 ?3
思路点拨：1.首先取不同的点，在图像上描出，用一条平滑的线连接各点。
（1）y?x?2??2??x?2?x?2???2?x?x?2?为分段函数，图象是两条射线；
（2）y?2x?4x?3?0?x?3?图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：
分段函数：
9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1
f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.??1?x?0??
【变式1】已知f?x?????x?0?，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.?x?1x?0???
解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：
∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，?20?x?5??35?x?10?x?N? 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y????410?x?15??515?x?19
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？
Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
解：Ⅰ：y1=50+x，y2=x；
Ⅱ： 当y1=y2时，50+x=x，∴=50，x=250
∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；
Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+x，x=150 ∴x=375（分钟）
采用第二种方式：200=x，x?333
∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()
A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象
B． B中元素可以有两个原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象
D． A与B必须是非空的数 ?1?x?1?x
已知f?，求f(x)的解析式。??2?1?x?1?x?1?x?1?x 解：观察已知函数 f?
??21?x1?x???1?y?1???1?y???1?y?1????1?y?2x1?x213（分钟）
222我们可以先令y?1?x1?x，则x?1?y1?y。所以f?y??2。从而化简得出f?y??2y1?y2，在令y=x，则就可以得出f?x??。
总结升华：
(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.
宜宾市翠屏区龙凤教育培训学校主讲人：杨老师
函数的概念及表示方法
重点、难点：
1.对应、函数、映射
2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3.定义域、值域计算的基本方法
4.计算的基本方法
5.分段函数与复合函数
1.函数
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:
A到集合B的一个函数，记作：y?f(x),x??B为从集合其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域；与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域。
[注意] ①构成函数的三要素：、、。②A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
③函数符号f(x)的含义：f(x)表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看做是对“x”施加某种法则（或运算），如f(x)?x2?2x?3，当x?2时，可看做对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；
当x为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如f(2x?1)?(2x?1)2?2(2x?1)?3?[g(x)]2?2g(x)?3等等。
④f(x)与f(a)的区别于联系。教师寄语：亲爱的同学，学习路上雷厉风行，没有什么不可能，老师相信你能行的，祝你学习轻松愉快！
电话：0831-***地址：翠屏区上江北红丰东路20号地财大厦二楼
f(a)表示当x?a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特征值。如一次函数f(x)?3x?5，当x?8时，f(x)?3?8?5?29是一个常量。
⑤定义域，在实际问题中受到实际意义的制约。如函数y?的定义域为?x|x?0?；圆半径r与圆面积S的函数关系为S??r2的定义域为?r|r?0?。
例1 已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-
例2函数
同一函数的判断：
两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时，才是同一个函数，这说明：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应关系不同，两个函数也是不同；
(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如，y=2x+1与y=x+1 例3 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
(x)=(x －1)0；g(x)= (x)= x； g(x)=
C．f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)(x)= | x | ；
g(x)=
[注意]00无意义！
x23x2y＝x2)、f(a)、f(a+1)与y＝3x是不是同一个函数？为什么？
2.区间及写法
设a、b是两个实数，且a {x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间；{x|a ①符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ②区间左端点值要小于区间右端点值；区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开； 例4 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x 例5 用区间表示：函数y＝x的定义域，值域是。（观察法） 3.由函数的解析式求定义域 例6 求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)= 例7 f(x) ＝x?2x?3 x?3x2?2； f(x)=x?1－x2?xf(x) 例8 f(x)；f(x)?1 1?1/x 4.函数的值域 例9 求值域（用区间表示）：y?x2?2x?4；y? 【方法、技巧】求函数值域的方法： (1)观察法。一些简单的函数，可通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。 例10 求下列函数的值域：(1)f(x)?2x?1,x??1,2,3,4,5?； (2)y?1 (2)配方法。通过函数解析式配方，由非负实数的意义确定函数的值域。 例11 求函数y?x2?4x?6的值域 [解析]y?x2?4x?6定义域为R，是二次函数，首先考虑配方法。 函数的定义域为R，∵y?x2?4x?6?(x?2)2?2,x?R时，(x?2)2?0∴该函数的 值域为?y|y?2??[2,??) (3)分离常数法。当自变量有一定的取值范围时，利用不等式的性质求出因变量的取值集合。 2x?1(1?x?2)的值域。x?1 3[解析] ∵y?2?，又1?x?2,?2??x1?3,?1?x?1?5x?2；f(x)? ；f(x)? x? 3x?3例12 求函数y?331?yx?122，故所求值域~~.(4)换元法。通过换元化简函数解析式，从而顺利地求出函数的值域。 例13 求函数y?x?【较难】 t2?11?t2[解析] 设t?则x?且t?0，问题转化为求y??t(t?0)的值域。22 1?t211?y??t?(t?1)2(t?0)，又∵t?0,?(t?1)2?1,∴y值的范围为y? 222 [注意]辅助元的取值范围，如在本例题中，要确定t的取值范围，如忽视了这一点，就会错误。 5.练习一 1.函数f(x)?1(x?R)的值域1?x2 A.（0,1）B.(0，1]C.[0，1）D.[0，1] 2.求函数y?x?3的值域 x2?x3.求函数y?2的值域为x?x?1 4.求函数y?x? 5.已知函数f(x)?x2，求f(x?1)； 6.已知函数f(x?1)?x2，求f(x)；（换元法） 7.若x?R,f(x)是y?2?x2,y?x这两个函数中教小者，则f(x)的最大值 -1D.无最大值 8.若函数y?f(x)的定义域是?x|0?x?1?，则y?f(x2)的定义域是 A.(-1,0)B.（-1,0）∪（0,1）C.(0,1)D.[0,1] 9.若函数y?f(3x?1)的定义域是[1,3]，则y?f(x)的定义域是 A.[1,3]B.[2,4]C.[2,8]D.[3,9] 10.求下列函数的定义域(1)y?2?3； (2)y?；x?2 (3)y?(x?1)0? 求函数y?x2?4x?6(0?x?5)的值域。[2,11)下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组为.(x)?|x|,g(x)?2； (x)?g(x)?(x)?x0,g(x)?； (x)?x,g(x)? xx §集合及其表示法 教学目标 知识与技能目标： （1）使学生初步了解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义。 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义。（4）.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.（5）通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 过程与方法目标： （1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （3）通过教师指导发现知识结论，学会抽象概括和运用逻辑思维的习惯。 （4）通过集合两种表示方法的相互转化培养学生的抽象概括和逻辑思维能力 情感态度与价值观目标： 激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点：集合的基本概念及表示方法。 教学难点：运用集合的常用表示方法，正确表示一些简单的集合。授课方法：讲授法 教学过程： 一．集合的概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 3.集合的正例和反例 （1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…} 我们班的男同学；我们班的团员； （2）“好心的人”，“著名的数学家”，“我们班级中的高个子同学”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺 5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表 示； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A 例如：1∈{1，2，3}； ?{1，2，3} 6．常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 例如：1∈Z，?Z，0∈N； 例题1：课本P7 7． 有限集和无限集的概念 自然数集N，{1，2，3，4，5，??}；{x|2x-3>0}；{钝角三角形}，??； 无限集：含有无限个元素的集合。有限集：含有有限个元素的集合。{x/x=3 },{我们班的全体同学}，{我们班中年龄小于10岁的同学} 空集：规定空集，不含元素。记作?； 二．集合的表示方法 问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 ,-3,2,-, 方法1: 方法2: {,2,1,+73, 31,+73,} 3 问题2：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3） 问题1中，方法1为图示法，方法2为列举法.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； 一般不必考虑元素之间的顺序； (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替； 例1．用列举法表示下列集合： 第2 / 6页 (1)小于5的正奇数组成的集合； (2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程x?x的所有实数根组成的集合；(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。 问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。 表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x?A；若x?A,则x具有性质p。 说明:(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。 如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。 例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)抛物线y=x上的点;(4)抛物线y=x上点的横坐标;(5)抛物线y=x上点的纵坐标;例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x?2?0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。 （二）集合的分类 例4．观察下列三个集合的元素个数 1.{, , ,-9};2.{x?R∣0 ?有限集:含有有限个元素的集合?集合的分类?无限集:含有无限个元素的集合 ?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)? （三）文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示： 第3 / 6页 表示任意一个集合A 表示{3，9，27} 说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．课堂练习一 例1.用“?”或者“?”填空 0 N 0 Z? ?2 Z 1* N ?2 R 2 例2.用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合；(2)被3除余1的自然数全体组成的结合；(3)方程组??x?y?5的解集； ?x?y??1(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.四．课堂练习二 1.元素与集合的关系用符号表示： ①a属于集合A；②a不属于集合A.2.常用数集记法： 字母N表示；用表示正整数集；Z表示；用 表示有理数集；R表示.3.空集是不含任何的集合，记作.第4 / 6页 4.集合常用的表示方法有 和.【基础训练】 1.列举法表示下列集合：(1)10以内的质数组成的集合.(2){y|y?x2?1,?1?x?3,x?Z} 2.已知M为所有大于?2且小于1的实数组成的集合，则下列关系式正确的是（M ?M D.?? 2?M 3.下列写法正确的是（） ?{(0,1)};?{(0,1)};C.(0,1)?{(0,1)};D.(0,1)?{0,1}.4.在平面直角坐标系中画出集合{(x,y)|xy?0,x?R,y?R}内的点所在的区域.5.用适当的方法表示下列集合：(1)关于x的方程x2?ax?2?0,a?R的解集;(2)两直线y?2x?1和y?x?2的交点组成的集合.6.方程(x?2)3(x?1)(x?3)(x?4)?0的解集含有个元素.7.已知方程ax2?ax?1?0的解集是空集，则实数a的取值范围是.【巩固提高】 8.已知集合A?{2,(a?1)2,a2?3a?3}，且1?A，求实数a的值.9.已知集合M含有三个元素0,1,x(x?R)，且x2?M，求实数x的值.(选做)10.(1)已知方程x2?px?4?0的解集是A，且6?A，） 第5 / 6页 求实数p的值； (2)已知方程x2?px?q?0的解集是{6}，求实数p,q的值.【课堂例题答案】 例1.?;?;?;?;?;? 例2.(1){1,3,5};(2){x|x?3k?1,k?N};(3){(x,y)|?(4){(x,y)|x?0,y?0,x?R,y?R} 【知识再现答案】 ?A;a?A 2.自然数集；N或Z；整数集；Q；实数集 *??x?y?5}或者{(2,3)} x?y??1? 3.元素；? 4.列举法；描述法 【习题答案】 1.(1){2,3,5,7};(2){?1,0,3} 4.第一、三象限及坐标轴 y 阴影区域，含边界 a 5.(1) 当a??{}；当a?? A? ； 2当??a?时，? ?a?4 ??1或0 ??1 10.(1)p?? 20;(2)p??12,q?36 3 （计划一个课时，可根据实际情况适当调整）§1．2．2函数的表示法 一、教学目标： 知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法； （2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 过程与方法 通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力； 情感态度与价值观 通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。 二、教学重难点： 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 难点：根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像 三、教学过程： （一）、复习引入： 1．函数的定义，函数的三要素（函数相同的条件）． 集合A集合B 当对应关系符合下面的条件之一时，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（1）11（集合A和B一一对应） （2）2或者更多1（集合A多个对B一个）误区：12或者更多 × 构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 函数相同：当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 2．函数图象的基本方法画法（列表、描点、作图.）本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法 （二）、讲解新课： 函数的三种表示方法： 老师：同学们，回忆一下在初中时，我们学习过什么函数？ 一次函数： 二次函数： 反比例函数： 教师引导学生归纳函数解析法的特点。 （1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。 说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质； ②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 以下是我国1992年-1998年的国内生产总值（单位：亿元）年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 生产总值 3456 6685 老师：根据我们学习的函数的概念，我们知道年份与生产总值之间构成了函数。而我们仅仅是通过一个图表就知道生产总值与年份之间的关系，像这种函数的表示法，我们称为列表法。（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”。 说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。老师：另外，在初中我们还学习了一次函数，二次函数，反比例函数的图像。 老师：像这种用图像来表示函数的方法叫做图像法。 （3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-2 我国人口出生变化曲线） 说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。 （三）、例题讲解 例 1、例3某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．（先学生独自做，老师做个别辅导）首先此函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}，那么由题意可知用解析法可将函数表示为y=5x。通过计算，用列表法可将函数表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 在直角坐标系上描出各点可得用图像法将函数表示为 注意： ①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 例 2、（课本23页例4） 例 3、国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算： 1、信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推； 2、信函质量大于100g且不超过200g时，付邮资（A+200）分（A为质量等于100g的信函的邮资），信函质量超过200g，但不超过300g付邮资（A+400）分，依此类推.设一封x g(0 解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为 它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.新概念教学：在上例中，函数对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数。 注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.例 3、课本24页例5 例 4、作出分段函数的图像 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即： = 作出图像如右图 作函数的图象.解：∵ ∴ 这个函数的图象是抛物线 介于之间的一段弧（如图）.（四）、课堂练习： 2、一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则把它的高表示成x的函数为 例1：1)设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x) k=4,kb+b=3 k=2,b=1或k=-2,b=-3 f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3 （五）、小结 函数的三种表示方法及图像的作法，以及如何求函数解析式 （六）、课后作业：课本第28习题：A组习题4，6，7，12，13 补充： 1、作出函数的函数图像 解： 步骤：（1）作出函数y=(2x(3的图象 （2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|(2x(3|的图象 f(x+1)=x+2(x+1)=x+2x+2 （七）、板书设计（略） .1函数的概念（两个课时，到时会适当增加一些实例，让学生更加明确函数的概念） 一、教育目标 知识与技能：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 过程与方法： 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力 情感态度与价值观 让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。 二、教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 三、教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 四、教学过程 （一）引入新课 1.复习初中所学函数的概念，强调概念的模型化思想。 初中所学函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）； 2.高一五班学生找座位这样一种对应关系，体会函数的映射关系 问题一：高一五班有60个同学，高一五班这个教室刚好有60个座位，这样每个人都可以找到一个位置，这样的安排合理吗？（合理） 问题二：高一五班有60个同学，高一五班这个教室却只有58个座位，这样会有一些同学要共用一个座位，这种安排合理吗？如果在座位不够的情况下，如果有一个同学还霸占两个座位，那么同学们同意他这种做法？（合理，这位同学的做法不道德） 问题三：高一五班有60个同学，高一五班这个教室却有62个座位，每个人都能得到一个座位，这样的安排合理。这样班里就会多出两个座位，这是某一位同学就一个屁股坐了两个或是三个座位，那同学们会同意吗？（合理，不同意，这样对其他同学不公平）老师：根据上面的三个问题，我们可以把 集合A=｛高一五班的60个同学｝，集合A非空 对应关系f：找座位 集合B=｛高一五班的座位数｝，集合B非空 从上面三个问题中，我们得到以下结论：每个集合A中的元素在对应关系f下都可以在集合B中有唯一一个座位与之对应，而B中的一个座位可以给两个同学坐，而集合A中的同学却不可以霸占集合B中的两个座位。 3.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 老师：而我们高中所学的函数的概念也会有具有以上的结论，那么函数到底是什么，请看下文： 新课教学 函数的有关概念 1．数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x（即集合A中的元素），在集合B中都有唯一确定的数f(x)（即集合B中的元素）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评）4.备用实例： 我国2003年4月份非典疫情统计： 日 期 22 23 24 25 26 27 28 29 30 新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 根据刚刚所学的函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． 5.区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（强调∞不是一个数+∞表示数可以无限大，—∞表示数可以无限小） （3）区间的数轴表示．（强调闭区间的端点用实点表示，开区间的端点用空心点表示）典型例题 1．求函数定义域 课本 解：（略） 说明： 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本例2 解：（略） 说明： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 3.巩固练习： 课本第2题 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f(x)=(x －1)0；g(x)= 1（2）f(x)= x； g(x)= （3）f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)2（4）f(x)= | x | ；g(x)= 例3（1）设函数f(x)=2x+3，函数g(x)=3x-5，试求，(2)已知a,b,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2, 求：++?+ 课堂练习 1.求下列函数的定义域（1）（2）（3）（4）（5）（6） 2求下列两个函数的定义域与值域（1） (2) (三)归纳小结，强化思想 从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。 （四）作业布置 课本习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题函数及其表示方法教案 篇3
函数的表示法教案1 篇4
函数的表示法教案h 篇5