勾股定理证明方法共3篇(勾股定理的证明方法32种)
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这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角
三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式
化简得
，。
勾股定理证明
勾股定理说课稿
勾股定理说课稿
勾股定理拔高题
勾股定理奥数题
勾股定理证明方法
勾股定理的种证明方法(部分)
【证法1】(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90o.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90o.
即∠CBD=90o.
又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，
BC=BD=a.
∴BDpC是一个边长为a的正方形.
同理，HpFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴.
【证法2】(项明达证明)
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点
F作FN⊥pQ，垂足为N.
∵∠BCA=90o，Qp‖BC，
∴∠MpC=90o，
∵BM⊥pQ，
∴∠BMp=90o，
∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90o.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
【证法3】(赵浩杰证明)
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB=∠CFD=90o，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD，
同理，RtΔABG≌RtΔADE，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
∴∠ABG=∠BCJ,
∵∠BCJ+∠CBJ=90o,
∴∠ABG+∠CBJ=90o,
∵∠ABC=90o,
∴G,B,I,J在同一直线上，
【证法4】(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=.
同理可证，矩形MLEB的面积=.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴，即.
勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
勾股定理证明方法
勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。
中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。
中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，
用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2；
中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。
于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c
2化简后便可得： a2+b2=c2
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加
刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)
，
结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法
古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。