2021届江苏省苏州中学高三（10月份）调研数学试题（解析版） 江苏省苏州市2021届高三第一学期期中考试数学

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　　2021 届江苏省苏州中学高三（10 月份）调研数学试题 一、单选题 1． ． 已知集合 ? ?22 0 A x x x ? ? ? ? ，? ?B x y x ? ? ，则 A B ? （ ） A． ． ? ? 1 2 x x ? ? ? B． ． ? ? 0 2 x x ? ? C． ． ? ? 1 x x ? ? D． ． ? ? 0 x x ? 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法以及定义域的求法化简集合，再进行并集运算. 【详解】∵集合 ? ?22 0 A x x x ? ? ? ? ，∴集合 ? ? | 1 2 A x x ? ? ? ? ∵集合 ? ? B x y x ? ? ，∴集合 ? ? 0 B x x ? ? ∴ ? ? 1 A B x x ? ? ? ? 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，涉及了一元二次不等式的解法，定义域的求解，属于基础题. 2． ． 已知34 5sin??? ?? ?? ?? ?， 0,2??? ?? ??? ?，则 cos ? ? （ （ ） ） A． ．210 B． ．3 210 C． ．22 D． ．7 210 【答案】A 【分析】利用角的变换 cos cos4 4? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?化简，求值. 【详解】 0,2??? ?? ??? ?， ,4 4 4? ? ??? ?? ? ?? ?? ? 24cos 1 sin4 4 5? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， cos cos cos cos sin sin4 4 4 4 4 4? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 3 2 25 2 5 2 10? ? ? ? ?.

　　故选：A 【点睛】本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型. 3． ． 若 0 b a ? ? ，则下列不等式：

　　① a b ? ； ② a b ab ? ? ； ③22aa bb? ? 中，正确的不等式的有（ ） ） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 个 【答案】C 【分析】根据不等式的性质以及2( ) 0 a b ? ? 即可判断正误. 【详解】由 0 b a ? ? 知：

　　| | | | b a ?， 0 a b ab ? ? ? ，而2( ) 0 a b ? ? ，则有2 22 a b ab ? ?，即22aa bb? ? ， 即②③都正确. 故选：C 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题. 4 ．函数2( ) ( 0, 0) f x ax bx a b ? ? ? ? 在点 (1, (1)) f 处的切线斜率为 2 ，则8a bab?的最小值是（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D． ． 3 2 【答案】B 【解析】对函数求导可得， ? ? " 2 . f x ax b ? ? 根据导数的几何意义， ? ? " 1 2 2 f a b ? ? ? ，即? ? 8a bab?=8 1b a? =(8 1b a? )·b(2a? )=8a b2 b a? +5≥28a b2 b a? +5=4+5=9，当且仅当2 28a b2a bb a? ? ??????即13 43ab???????? ?时，取等号.所以8a bab?的最小值是 9. 故选 B. 点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件 5 ．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建

　　数 立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 的 Logistic 模型 ：( 53)( )= 1etIKt? ??中 ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I(*t)= 时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（ ）（ln19≈3 ） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 【答案】C 【分析】将 tt ? ?代入函数 ? ?? ? 531tKI te ????结合 ? ? I t K?? 求得 t ? 即可得解. 【详解】 ? ?? ? 531tKI te ????，所以 ? ?? ? t Ke??? ?? ??，则? ? 5319te? ??， 所以， ? ? 53 ln19 3 t ? ? ? ? ，解得353 ? ? ? ? . 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 6． ． 已知函数ln , 0( ), 0e xx x xf xxx? ??? ????则函数 ? ? 1 y f x ? ? 的图象大致是（ ） ） A． ． B． ． C． ． D． ． 【答案】B 【分析】本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值 0 x ? 、 1 x ? 故排除 CD；当 0 x ?时,利用导数判断单调性,排除 A,当 0 1 x ? ? 时, ? ? 1 0 y f x ? ? ? ,当 1 x?时, ?? 1 0 y f x ? ? ? ,即可得出最后答案.

　　【详解】解：①当 0 x ? 时, ? ? ? ? 1 0 1 1 ln1 0 y f f ? ? ? ? ? ? ； ②当 1 x ? 时, ? ? ? ? 1 1 0 0 ln0 0 y f f ? ? ? ? ? ? ；故排除 CD; ③ 当 0 x ? 时, 1 1 x ? ? , 所以 ? ? ? ? ? ? 1 l 1 1 n y f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?"""1 ln 1 1 ln 1 x x y x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?" 1ln 1 1 11x x xx? ? ? ? ? ?? ? ? ln 1 1 0 x ?? ? ? ? 所以 ? ? 1 y f x ? ? 在 0 x ? 时单调递减,故排除 A. ④当 0 1 x ? ? 时, 0 1 1 x ? ? ? , ? ? ? ? ? ? 1 l 1 1 n y f x x x ? ? ? ? ? ( )0 1 1 x < - < ,? ? ln 1 0 x ? ? , ? ? ? ? ? ? 1 n 1 0 1 l x x y f x ? ? ? ? ? ? ? ,故 B 符合, ⑤当 1 x? 时, 1 0 x ? ? ? ?11e1xxxy f??? ? ? , 11 0, 0 exx-- < > , ? ?110e1xy f xx??? ? ? ? ? ,故 B 符合. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得. 7． ． 若定义在 R 上的奇函数 ? ?f x 满足对任意的 x?R ，都有 ? ? ? ? 2 f x f x ? ? ? 成立，且 ? ? 1 8 f ? ，则 ? ? 2019 f ， ? ? 2020 f ， ? ? 2021 f 的大小关系是（ ） ） A． ． ? ? ? ? ? ? 2019 f f f ? ? B． ． ? ? ? ? ? ? 2019 2020 2021 f f f ? ? C． ． ? ? ? ? ? ? 2020 f f f ? ? D． ． ? ? ? ? ? ? 2020 2021 2019 f f f ? ? 【答案】A

　　【分析】由 ? ? ? ? 2 f x f x ? ? ? ，可推出 ? ? ? ? 4 f x f x ? ? ，从而可知函数 ? ? f x 是周期函数，周期为 4，进而可得出 ? ? ? ? 2019 1 f f ? ? ， ? ? ? ? 2020 0 f f ? ，? ? ? ? 2021 1 f f ? ，然后根据 ? ? f x 是 R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案. 【详解】因为 ? ? ? ? 2 f x f x ? ? ? ，所以 ? ? ? ? ? ? 4 2 f x f x f x ? ?? ? ? ，即 ? ? f x 是周期函数，周期为 4， 又函数 ? ? f x 是 R 上的奇函数，所以 ? ? 0 0 ? f ， ? ? ? ? 1 1 8 f f ? ?? ?? ， 则 ? ? ? ? ? ? 2019 3 1 8 f f f ? ? ? ?? ， ? ? ? ? 2020 0 0 f f ? ? ， ? ? ? ? 2021 1 8 f f ? ? ， 所以 ? ? ? ? ? ? 2019 2020 2021 f f f ? ? . 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 8． ．距 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α ，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2?点 ，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为（ ） ） A ．50 m ，100 m B ．40 m ，90 m C ．40 m ，50 m D ．30 m ，40 m 【答案】B 【分析】在直角三角形中分别表示 ? 、2?的正切值，由二倍角公式把二者联系起来，再分别表示 ? 、2?? ? 的正切值，根据互余二者联系起来，然后再解两个不等式组成的方程组可得解. 【详解】 设高塔高 H m，矮塔高 h m，在 O点望高塔塔顶的仰角为 β. 则 tan tan120 2 120H h ?? ? ? ， ，

　　根据三角函数的倍角公式有 hHh??? ?? ??? ?① 因为在两塔底连线的中点 O望两塔塔顶的仰角互为余角， 所以在 O点望矮塔顶的仰角为2?? ? ， 由 tan60H? ? ， tan2 60h ??? ?? ?? ?? ? ，得6060Hh? .② 联立①②解得 H＝90，h＝40. 即两座塔的高度分别为 40 m，90 m. 故选：B. 【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，二倍角的正切公式、诱导公式. 二、多选题 9． ．为 等腰直角三角形直角边长为 1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） ） A． ．2 ? B． ． ? ? 1 2 ? ? C． ． 2 2 ? D． ． ? ? 2 2 ? ? 【答案】AB 【分析】分 2 种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线就是直角三角形的斜边2 ， 所以所形成的几何体的表面积是 ? ?2 21 2 1 2 1 S rl r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1， 所以写成的几何体的表面积22 2 1 22S rl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 综上可知形成几何体的表面积是 ? ? 2 1 ? ? 或2 ? . 故选：AB 【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10． ．于 关于 x 的不等式 ? ?? ? 12 1 0 ax x a ? ? ? ? 有 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为

　　（ ） A． ．12? B ．1 C． ．－ －1 D ．2 【答案】AC 【分析】由题意先判断出 0 a? ，写出不等式的解集，由不等式 ? ?? ? 1 2 1 0 ax x a ? ? ? ?的解集中恰有 3 个整数，则这 3 个整数中一定有 0 和 1,所以分这 3 个数为 101 ? ，， ，或0,1,2， 分别计算求解即可. 【详解】不等式 ? ?? ? 1 2 1 0 ax x a ? ? ? ? 的解集中恰有 3 个整数 当 0 a ? 时，不等式化为 1 0 x? ? ，则解集中有无数个整数. 当 0 a ? 时，不等式 ? ?? ? 1 2 1 0 ax x a ? ? ? ? 的解集中有无数个整数. 所以 0 a? ，10a? ， 1 2 1 a ? ? ，所以11 2aa? ? 所以不等式的解集为：1| 1 2 x x aa? ?? ? ?? ?? ?， 由不等式 ? ?? ? 1 2 1 0 ax x a ? ? ? ? 的解集中恰有 3 个整数，则这 3 个整数中一定有 0 和1. 则这 3 个整数为：

　　101 ? ，， ，或 0,1,2， 若这 3 个整数为：

　　101 ? ，， ，则1 2 212 1aa? ? ??? ? ?? ???， 解得：12a ? ? 若这 3 个整数为：

　　0,1,2， 则2 1 2 311aa? ? ? ???? ???， 解得：

　　1 a?? 所以实数 a 的取值集合是1, 12? ?? ?? ?? ?. 故选：AC. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题. 11． ． 声音是由物体振动产生的声波, , 其中包含着正弦函数. 纯音的数学模型是函数

　　sin y A t ? ? , , 我们听到的声音是由纯音合成的, , 称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ? ?1sin sin22f x x x ? ? , , 则下列结论正确的是（ ） ） A． ． 2 ? 是 ? ? f x 的一个周期 B． ． ? ? f x 在 []0,2π 上有 3 个零点 C． ． ? ? f x 的最大值为3 34 D． ． ? ? f x 在 0,2? ? ?? ?? ?上是增函数 【答案】ABC 【分析】①分别计算 sin y x ? 和1sin22y x ? 的周期,再求其最小公倍数即可得到 ? ? f x的周期.②令( )0 f x = 即可求得零点.③对 ? ? f x 求导,令? ?"0 f x ? ,判断单调性即可求得极值.④对 ? ? f x 求导,令 ? ?"0 f x ? ,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为：

　　? ?1sin sin22f x x x ? ? ① sin y x ? 的周期是 2 ? , 1sin22y x ? 的周期是22?? ? , 所以 ? ?1sin sin22f x x x ? ? 的周期是 2 ? ,故 A正确. ②当 ? ?1sin sin2 02f x x x ? ? ? , ? ? 0,2 x ? ? 时, sin sin cos 0 x x x ? ? sin (1 cos ) 0 x x ? ? sin 0 x ? 或 1 cos 0 x ? ? 解得 0 x ? 或32x?? 或 2 x ? ? , 所以 ? ? f x 在 []0,2π 上有 3 个零点,故 B 正确. ③ ? ?1sin sin22f x x x ? ? ? ? sin sin cos f x x x x ? ? ? ?"2 2cos cos sin f x x x x ? ? ? 22cos cos 1 x x ? ? ? 令 ? ?"0 f x ? ,求得1cos2x ? 或 cos 1 x ?? ,

　　因为 ? ? f x 在11,2骣琪-琪桫 单调递增,在1,12? ?? ?? ?单调递减, 所以1cos2x ? 时取得最大值,则3sin2x ? ? ? max3 1 3 3 32 2 2 4f x ? ? ? ?,故 C 正确. ④由③得 ? ?"22cos cos 1 f x x x ? ? ? , 要求增区间则 ? ?"0 f x ? , 即 cos 1 x?? （不成立）,或1cos 12x ? ? , 所以 0 2 23k x k ? ? ? ??? ? 所以 ? ? f x 在 0,2? ? ?? ?? ?上是增函数是错误的,故 D错误. 故选：ABC 【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便. 12． ．域 对于具有相同定义域 D 的函数 ? ?f x 和 ? ? g x ，若存在函数 ? ? h x kx b ? ? （ （k ，b数 为常数），对任给的正数 m ，存在相应的0x D ? ，使得当 xD ? 且0 x x ? 时，总有? ? ? ?? ? ? ?00f x h x mh x g x m? ? ? ???? ? ?? ?，则称直线 : l y kx b ? ? 为曲线 ? ? y f x ? 与 ? ? y g x ? 的“ 分渐近线”. 给出定义域均为 ? ? | 1 D x x ? ? 的四组函数，其中曲线 ? ? y f x ? 与 ? ? y g x ? 存在“ 分渐近线” 的是（ ） ） A． ． ? ?2f x x ? ， ? ? g x x ? B． ． ? ? 10 2xf x?? ? ， ? ?2 3 xg xx?? C． ．? ?21 xf xx?? ， ? ?ln 1lnx xg xx?? D． ． ? ?221xf xx??， ? ? ? ? 2 1xg x x e ? ? ? ? 【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.

　　【详解】解：

　　? ? f x 和 ? ? g x 存在分渐近线的充要条件是 x?? 时，? ? ? ? 0, ( ) ( ) f x g x f x g x ? ? ? ． 对于①， ? ?2f x x ? ， ? ? g x x ? ， 当 1 x? 时，令 ? ? ? ? ? ?2F x f x g x x x ? ? ? ? ， 由于1( ) 2 02F x xx? ? ? ?，所以 ? ? h x 为增函数， 不符合 x?? 时， ? ? ? ? 0 f x g x ? ? ，所以不存在分渐近线； 对于②， ? ? 10 2 2xf x?? ? ? ， ? ?2 32,( 1)xg x xx?? ? ? ( ) ( ) f x g x ? ? ， 2 3 1 3( ) ( ) 10 210xxxf x g xx x?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?， 因为当 1 x? 且 x?? 时， ? ? ? ? 0 f x g x ? ? ，所以存在分渐近线； 对于③，21( )xf xx?? ，ln 1( )lnx xg xx?? ，21 1 1 1 1 1 1( ) ( )ln ln lnx x nxf x g x x xx x x x x x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 1 x? 且 x?? 时，1x与1ln x均单调递减，但1x的递减速度比1ln x快， 所以当 x?? 时， ? ? ? ? f x g x ? 会越来越小，不会趋近于 0，所以不存在分渐近线； 对于④，22( )1xf xx??， ? ? ? ? 2 1xg x x e ? ? ? ? ， 当 x?? 时， 22( ) ( ) 220+12 22+1xxxf x g x x ex x e?? ? ? ? ??? ? ，且( ) ( ) 0 f x g x ? ? ， 因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是 BD． 故选：BD． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.

　　三、填空题 13． ． 若二次函数 ? ?22 4 1 f x x ax a ?? ? ? ? 有一个零点小于1 ? 于 ，一个零点大于 3 ，则实数 a 的取值范围是____________. 【答案】4,5? ???? ?? ? 【分析】由二次函数 ? ?22 4 1 f x x ax a ?? ? ? ? 的图象开口向下，且在区间 ? ? , 1 ?? ? ，? ? 3,?? 内各有一个零点，可得? ?? ?1 03 0ff? ? ????? ?，求解即可. 【详解】因为二次函数 ? ?22 4 1 f x x ax a ?? ? ? ? 的图象开口向下， 且在区间 ? ? , 1 ?? ? ， ? ? 3,?? 内各有一个零点， 所以? ?? ?1 1 2 4 1 03 9 6 4 1 0f a af a a? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?，解得45a ? . 所以实数 a 的取值范围是4,5? ???? ?? ?. 故答案为：4,5? ???? ?? ?. 【点睛】本题考查二次函数的零点分布，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14． ．集 在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“ 类” ，记为[k] ，即[k]＝ ＝{5n ＋k| n ∈Z} ，k ＝0 ，1 ，2 ，3 ，4. 给出如下四个结论：

　　① ①2 014 ∈[4] ； ② ②－ －3 ∈[3] ； ③Z ＝[0] ∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]； ； ④数 整数 a ，b 属于同一“ 类” 的充要条件是“a －b ∈[0]” ．其中 ，正确的结论是________． ． 【答案】①③④ 【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解． 【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确； 在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3?[3]，故②错误； 在③中，∵整数集中的数被 5除的数可以且只可以分成五类， ∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； 在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402， ∴2015 与 2010属于同一个“类”[0]，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属

　　基础题． 15． ．知 已知 sinθ ＋cosθ＝ ＝713，θ∈ ∈(0 ，π) ，则 tanθ ＝________. 【答案】125? 【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出 2sin cos ? ?的值小于 0，得到 sin 0 ? ? ， cos 0 ? ? ，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出 sin ? 与 cos ? 的值，即可求出 tan ? 的值． 【详解】解：将已知等式7sin cos13? ? ? ? ①两边平方得：2 2 249(sin cos ) sin 2sin cos cos 1 2sin cos169? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 1202sin cos 0169? ? ? ? ? ? ， 0 ? ? ? ? ， sin 0 ? ? ? ， cos 0 ? ? ，即 sin cos 0 ? ? ? ? ， 2289(sin cos ) 1 2sin cos169? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 17sin cos13? ? ? ? ? ②， 联立①②，解得：12sin13? ? ，5cos13? ? ? ， 则12tan5? ? ? ． 故答案为：125? ． 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题． 四、解答题 16． ． 已知 A 、 B 、 C 是平面上任意三点，且 BC a ?， ? CA b ， AB c ? .则 则c bya b c? ??的最 小值是______. 【答案】2 －12 【详解】依题意，得 b c a ? … ，于是 1c b c b cya b c a b c?? ? ? ? ?? ? 12c b c b ca b c? ? ?? ? ??

　　1 11 22 2 2 2c a b c c a ba b c a b c? ? ?? ? ? ? ? ?? ?厖 17． ． 已知集合 ? ? ? ?22| log 4 15 9 , A x y x x x ? ? ? ? ? ?R ， ? ? | 1, B x x m x ? ? ? ?R ‖ （1 1 ）求集合 A ； （2 2 ）若 p ：

　　x A ? ， q ：

　　x B ? ，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围. . 【答案】（1）3| 34A x x? ?? ? ?? ?? ?（2） ? ?1, 4,4? ??? ? ????? ? 【分析】(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可． （2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可． 【详解】解：（1）∵ ? ? ? ?22| log 4 15 9 , A x y x x x R ? ? ? ? ? ? ∴24 15 9 0 x x ? ? ? ?，则 ( 3)(4 3) 0 x x ? ? ? ∴334x ? ? ，∴3| 34A x x? ?? ? ?? ?? ?. （2）∵ ? ? | 1, B x x m x ? ? ? ?R ‖ ∴由 | | 1 x m ? ? 可得：

　　1 x m ? ? 或 1 x m ? ?? ∴ 1 x m ? ? 或 1 x m? ≤ ∴ ? | 1 B x x m ? ? ? 或 ? 1 x m ? ? ∵ p ：

　　x A ? ， q ：

　　x B ? ， 且 p 是 q 的充分不必要条件 ∴ 1 3 m? ? 或314m? ? ∴ 4 m≥ 或14m ? ? ∴实数 m 的取值范围是 ? ?1, 4,4? ??? ? ????? ?. 【点睛】本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题． 18 ．已知函数 ( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A x A?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的部分图象如图所示，其中点 (1,2) P 为函数图象的一个最高点， (4,0) Q 为函数图象与 x 轴的一个交点， O 为坐标原点．

　　（ Ⅰ ）求函数( ) f x 的解析式； （ Ⅱ ）将函数 ( ) y f x ? 的图象向右平移 2 个单位得到 ( ) y g x ? 的图象，求函数( ) ( ) ( ) h x f x g x ? ? 图象的对称中心． 【答案】（Ⅰ） ( ) 2sin( )6 3f x x? ?? ? ；（Ⅱ）1(3 ,1)( )2k k Z ? ? ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要确定 ( ) sin( ) f x A x ? ? ? ? 的解析式，利用最高点确定 A，由 P、Q 两点确定周期，从而可确定 ? ，再结合五点法（或正弦函数的性质）可确定 ? ；（Ⅱ）由平移变换得出 ( ) g x 的表达式，从而求出 ( ) ( ) f x g x ，展开后用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个三角函数，同样结合正弦函数的性质可得对称中心． 试题解析：（Ⅰ）由题意得振幅 2 A? ，周期 4 (4 1) 12 T ? ? ? ? ，又212??? ，则6?? ? 将点 (1,2) P 代入 ( ) 2sin( )6f x x?? ? ? ，得 sin( ) 16x?? ? ? ， ∵ 02?? ? ? ， ∴3?? ? ， 故 ( ) 2sin( )6 3f x x? ?? ? ． （Ⅱ）由题意可得 ( ) 2sin ( 2) 2sin6 3 6g x x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?． ∴2( ) ( ) ( ) 4sin( ) sin 2sin 2 3sin cos6 3 6 6 6 6h x f x g x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos 3sin 1 2sin( )3 3 3 6x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ． 由3 6x k? ?? ? ? 得13 ( )2x k k Z ? ? ? ∴ ( ) y h x ? 图像的对称中心为1(3 ,1)( )2k k Z ? ? 【解析】函数 ( ) sin( ) f x A x ? ? ? ? 的解析式与性质． 19． ． 如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC ? 中， ABC? 和 △1AAC 为 均是边长为 2 的等边三角形，点 O 为 AC 中点，平面1 1AAC C ? 平面 ABC ．

　　（ （1 ）证明：1AO ? 平面 ABC ； （ （2 ）求直线 AB 与平面1 1ABC 所成角的正弦值． 【答案】（1）理由见解析；（2）64． 【分析】（1）证明1AO AC ? ，通过平面1 1AAC C ? 平面 ABC ，推出1AO ? 平面 ABC ． （2）如图，以 O 为原点， OB ， OC ，1OA 为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面1 1ABC 的法向量为 ( , , ) n x y z ? ，设直线 AB 与平面1 1ABC 所成角为 ? ，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）证明：1 1AA AC ? ，且 O 为 AC 的中点， 1AO AC ? ? ， 又 平面1 1AAC C ? 平面 ABC ，且交线为 AC ，又1AO ? 平面1 1AAC C ， 1AO ? ? 平面 ABC ； （2）解：如图，以 O 为原点， OB ， OC ，1OA 为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系．

　　由已知可得(0 O，0， 0) (0 A ， 1 ? ，1 10), ( 3,0,0), (0,0, 3) (0,2, 3) B A C ， 1( 3,0, 3) AB? ? ，1 1( 3,1,0), (0,2,0) AB AC ? ? 平面1 1ABC 的法向量为 ( , , ) n x y z ? ， 则有2 03 3 0yx z? ???? ? ??， 所以 n 的一组解为 (1,0,1) n ? ， 设直线 AB 与平面1 1ABC 所成角为 ? ， 则 sin cos , AB n ? ? 又· 3 6cos ,4 2 2AB nAB nAB n? ? ?， 所以直线 AB 与平面1 1ABC 所成角的正弦值：64． 【点睛】关键点睛：解题的关键在平面与平面垂直的判断定理的应用，以及利用法向量求解直线与平面所成角，主要考查学生空间想象能力以及计算能力，难度属于中档题 20． ． 已知函数2( ) ( 1) f x x x x a ? ? ? ? ． （ （1 ）若 1 a?? ，解方程 ( ) 1 f x ? ； （ （2 ）若函数( ) f x 在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ （3 ）若 1 a? 且不等式 ( ) 2 3 f x x ? ? 对一切实数 x?R 恒成立，求 a 的取值范围 【答案】（1） ；（2） ；（3）

　　【详解】（1）当 1 a?? 时，， 故有 22 1, 1( ) { 1,1x xf xx? ? ??? ?， 当 1 x?? 时，由 ( ) 1 f x ? ，有22 1 1 x ? ? ，解得 1 x ?或 1 x?? 当 1 x?? 时， ( ) 1 f x ? 恒成立 ∴ 方程的解集为 或 （2）22 ( 1) ,( ) { (1) ,x a x a x af xa x a x a? ? ? ??? ? ?， 若 在 上单调递增，则有 1{ 41 0aaa??? ?， 解得，13a ? ∴ 当13a ? 时， 在 上单调递增 （3）设 ( ) ( ) (2 3) g x f x x ? ? ? 则22 ( 3) 3,( ) {( 1) 3,x a x a x ag xa x a x a? ? ? ? ??? ? ? ? 不等式 ( ) 2 3 f x x ? ? 对一切实数 x?R 恒成立，等价于不等式 ( ) 0 g x ? 对一切实数x?R 恒成立． 1 a? ， ? 当 ( , ) x a ? ?? 时， ( ) g x 单调递减，其值域为2( 2 3, ) a a ? ? ?? ， 由于2 22 3 ( 1) 2 2 a a a ? ? ? ? ? ? ，所以 ( ) 0 g x ? 成立． 当 [ , ) x a ? ?? 时，由 1 a? ，知34aa?? ， ( ) g x 在34ax?? 处取最小值， 令 ，得 3 5 a ? ? ? ，又 1 a? ，所以 3 1 a ? ? ? 综上， [ 3,1 a? ? ） ． 21． ． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2 22 21( 0)x ya ba b? ? ? ? 的左、右顶点分别为A 、 B 为 ，焦距为 2 ，直线 l 与椭圆交于, C D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）. 当直线 l

　　过椭圆的右焦点 F 且垂直于 x 轴时，四边形 ACBD 为 的面积为 6. （ （1 ）求椭圆的标准方程； （ （2 ）设直线 , AC BD 的斜率分别为1 2, k k . ① 若2 13 k k ? ，求证：直线 l 过定点； ② 若直线 l 过椭圆的右焦点 F ，试判断12kk是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）2 214 3x y? ? ；（2）①证明见解析；②1231 kk? 【分析】（1）由题意焦距为 2，设点0(1, ) C y ，代入椭圆2 22 21( 0)x ya ba b? ? ? ? ，解得20bya? ? ，从而四边形 ACBD 的面积226 2 2 2ABCbS a ba?? ? ? ，由此能求出椭圆的标准方程． （2）①由题意1: ( 2) AC y k x ? ? ，联立直线与椭圆的方程2 214 3x y? ? ，得2 2 211(3 4 ) 16 12 0 k x k ? ? ? ?，推导出 6(3 4kCk???，)3 4kk ?， 6( 34kDk??，)3 4kk??，由此猜想：直线 l 过定点 (1,0) P ，从而能证明 P ， C ， D 三点共线，直线 l 过定点 (1,0) P ． ②由题意设1( C x ，1 )y ，2( D x ，2 )y ，直线 : 1 l x my ? ? ，代入椭圆标准方程：2 214 3x y? ? ，得2 2(3 4) 6 9 0 m y my ? ? ? ? ，推导出1 2263 4my ym? ? ??，1 2293 4y ym? ??，由此推导出11 1 1 2 1 2 1 2 122 2 1 2 1 1 2 222 ( 2) ( 1) 1( 2) ( 3) 3 32yk x y x y my my y yyk y x y my my y yx? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??（定值）． 【详解】（1）由题意焦距为 2，可设点0(1, ) C y ，代入椭圆2 22 21( 0)x ya ba b? ? ? ? ， 得202 211ya b? ? ，解得20bya? ? ， ? 四边形 ACBD 的面积226 2 2 2ABCbS a ba?? ? ? ， 23 b ? ? ，24 a ?，

　　? 椭圆的标准方程为2 214 3x y? ? ． （2）①由题意1: ( 2) AC y k x ? ? ， 联立直线与椭圆的方程2 214 3x y? ? ，得2 2 211(3 4 ) 16 12 0 k x k ? ? ? ?， 1223 4kxk??? ??，解得 83 4kxk???，从而11 1 ( 1)3 4ky k xk? ? ??， 6(3 4kCk?? ??，)3 4kk ?，同理可得 6( 34kDk??，)3 4kk??， 猜想：直线 l 过定点 (1,0) P ，下证之：

　　2 13 k k ? ，1 22 21 22 21 22 21 212 123 4 3 48 6 8 61 13 4 3 4PC PDk kk kk kk kk k?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 21 2 1 1 1 14 12 4 36 4 401 4 4 9 1 4 36 9 1 4 1 4k k k k k kk k k k k k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， P ? ， C ， D 三点共线， ? 直线 l 过定点(1,0) P ． ②12kk为定值，理由如下：

　　由题意设1( C x ，1 )y ，2( D x ，2 )y ，直线 : 1 l x my ? ? ， 代入椭圆标准方程：2 214 3x y? ? ，得2 2(3 4) 6 9 0 m y my ? ? ? ? ， 2 21,226 36 36(3 4)2(3 4)m m mym? ? ? ?? ??， 1 2263 4my ym? ? ? ??，1 2293 4y ym? ??， ?11 1 1 2 1 2 1 2 122 2 1 2 1 1 2 222 ( 2) ( 1)( 2) ( 3) 32yk x y x y my my y yyk y x y my my y yx? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? 2 22 2 22 22 29 6 3( )3 4 3 4 3 49 93 33 4 3 4m m my ym m mm my ym m? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?

　　 4mymmym? ??? ?? ??（定值）． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 22． ． 设函数 ? ? ? ? ? ?2ln 1 f x x a x x ? ? ? ? ，其中 a R ? . . （ Ⅰ ）讨论函数 ? ? f x 极值点的个数，并说明理由； （ Ⅱ ）若 ? ? 0, 0 x f x ? ? ? 成立，求 a 的取值范围. . 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） a 的取值范围是 ? ? 0,1 . 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求? ?21 2 121 1ax ax af x ax ax x? ? ?? ? ? ? ?? ?，令? ?22 1 g x ax ax a ? ? ? ? 通过对 a 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 ? ? f x 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果 ? ? 0 0 ? f 这一特殊性，通过对参数的讨论确定 a 的取值范围. 试题解析：函数 ? ? ? ? ? ?2ln 1 f x x a x x ? ? ? ? 的定义域为 ? ? 1, ? ?? ? ?21 2 121 1ax ax af x ax ax x? ? ?? ? ? ? ?? ? 令 ? ?22 1 g x ax ax a ? ? ? ? ， ? ? 1, x? ? ?? （1）当 0 a ? 时， ? ? 1 0 g x ? ? ， ? ? 0 f x ? ? 在 ? ? 1, ? ?? 上恒成立 所以，函数 ? ? f x 在 ? ? 1, ? ?? 上单调递增无极值； （2）当 0 a ? 时， ? ? ? ?28 1 9 8 a a a a a ?? ? ? ? ? ①当809a ? ? 时， 0 ? ? ， ? ? 0 g x ? 所以， ? ? 0 f x ? ? ，函数 ? ? f x 在 ? ? 1, ? ?? 上单调递增无极值； ②当89a ? 时， 0 ? ? 设方程22 1 0 ax ax a ? ? ? ? 的两根为1 2 1 2, ( ), x x x x ?

　　因为1 212x x ? ? ? 所以，1 21 1,4 4x x ? ? 由 ? ? 1 1 0 g ? ? ? 可得：111 ,4x ? ? ? ? 所以，当 ? ?11, x x ? ? 时， ? ? ? ? 0, 0 g x f x ? ? ? ，函数 ? ? f x 单调递增； 当 ? ?1 2, x x x ? 时， ? ? ? ? 0, 0 g x f x ? ? ? ，函数 ? ? f x 单调递减； 当 ? ?2 ,x x ? ?? 时， ? ? ? ? 0, 0 g x f x ? ? ? ，函数 ? ? f x 单调递增； 因此函数 ? ? f x 有两个极值点． （3）当 0 a ? 时， 0 ? ? 由 ? ? 1 1 0 g ? ? ? 可得：11, x ? ? 当 ? ?21, x x ? ? 时， ? ? ? ? 0, 0 g x f x ? ? ? ，函数 ? ? f x 单调递增； 当 ? ?2 ,x x ? ?? 时， ? ? ? ? 0, 0 g x f x ? ? ? ，函数 ? ? f x 单调递减； 因此函数 ? ? f x 有一个极值点． 综上：

　　当 0 a ? 时，函数 ? ? f x 在 ? ? 1, ? ?? 上有唯一极值点； 当809a ? ? 时，函数 ? ? f x 在 ? ? 1, ? ?? 上无极值点； 当89a ? 时，函数 ? ? f x 在 ? ? 1, ? ?? 上有两个极值点； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）当809a ? ? 时，函数 ? ? f x 在 ? ? 0,?? 上单调递增， 因为 ? ? 0 0 ? f 所以， ? ? 0, x? ?? 时， ? ? 0 f x ? ，符合题意； （2）当819a ? ? 时，由 ? ? 0 0 g ? ，得20 x ? 所以，函数 ? ? f x 在 ? ? 0,?? 上单调递增， 又 ? ? 0 0 ? f ，所以， ? ? 0, x? ?? 时， ? ? 0 f x ? ，符合题意； （3）当 1 a? 时，由 ? ? 0 0 g ? ，可得20 x ?

　　所以 ? ?20, x x ? 时，函数 ? ? f x 单调递减； 又 ? ? 0 0 ? f 所以，当 ? ?20, x x ? 时， ? ? 0 f x ? 不符合题意； （4）当 0 a ? 时，设 ? ? ? ? ln 1 h x x x ? ? ? 因为 ? ? 0, x? ?? 时， ? ?11 01 1xh xx x? ? ? ?? ?? 所以 ? ? h x 在 ? ? 0,?? 上单调递增， 因此当 ? ? 0, x? ?? 时， ? ? ? ? 0 0 h x h ? ? 即：

　　? ? ln 1 x x ? ? 可得：

　　? ? ? ? ? ?2 21 f x x a x x ax a x ? ? ? ? ? ? 当11 xa? ? 时， ? ?21 0 ax a x ? ? ? 此时， ? ? 0, f x ? 不合题意. 综上所述， a 的取值范围是 []0,1 【解析】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.

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