等比数列的性质总结（汇编6篇）
【导语】本文是网友“tgl3”分享的等比数列的性质总结（共6篇），以供参考。
等差、等比数列的性质
一：考试要求
1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义
3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 二:知识归纳
（一）主要知识：
有关等差、等比数列的结论 1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等差数列．
2．等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq 3．等比数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq
4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等比数列．
5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列．
?an??1?
6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??、??仍为等比数
?bn??bn?
列．
（二）主要方法：
1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．
三：例题诠释，举一反三
例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8
变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A
3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3?a7?37，则a2?a4?a6?a8?
B3
A3
3A3
例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()
A．130B．170C．210D．260
变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）
A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=
Snn
}
1k,ak=
1m,则该数列前mk
项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则
A9
A1
1的值为()
A．4B．2C．－2D．－
4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则
例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)(1)求证：{an}是等差数列；
(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
变式1已知数列{an}中，a1
?3
5，an
?2?
1an?1
(n?2,n?N
?)，数列{bn}满足bn
?
1an?1
(n?N
?)
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由
变式2设等差数列?an?的前n项和为sn，已知a3?24,s11?0，求： ①数列?an?的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？
变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝
(n∈N*)．an-1
(1)求证数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．
32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11
(1)求证数列－1}是等比数列；
Ann
(2)求数列{前n项的和
An
变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn
变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
变式3.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an?2（1）设bn?
n
An
2n?1,证明?bn?是等差数列;（2）
求数列?an?的前n项和Sn。
当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；
（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，则
A4?a6?
*
（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是．
2．若数列{an}成等差数列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m．
3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1?1，求其项数和中间项.4．若数列{an}（n?N*）是等差数列，则有数列bn?
A1?a2???an
n
（n?N*）也为
等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（n?N*），则有
d
n?
n?N*）也是等比数列．
5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n?N，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：
Anbn
?S2n?1T2n?1
*
SnTn
?
7n?14n?27，．
四：课后练习
1基础部分
1已知各项均为正数的等差数列?an?中，a1?a11?36，则a6的最小值为（）
A、4B、5C、6D、7
2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）
等差数列{an}中，a1?3a8?a15?120,则2a9?a10?
（）
A．24 B．22 C．20 D．-8
4{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016
5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（）
A．55 B．40 C．35 D．70
6.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?.7设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144,则n=.S2007
?S
5?2
?a?Sa??在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2007
S2008?，则
2提高部分
1、（2010惠州 第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2?a8?a11?30，那
么S13值的是（）A．130
B．6
5C．70D．以上都不对
2．（2010揭阳市一模 理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为
A
B．4C．2D．
3、(2009安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1
12，则
等
4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于
5．（2011佛山一检）在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若
Ak?a1?a2?a3???a7，则k?()
A．22 B．23 C．24D．25
6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则
Aaa=
(A)
7.（2010湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则
A9?a10a7?
A8
??
A3,2a2成等差数列，?
?
d3?
8（2010福建理）3．设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最小值时,n等于
A．6
B．7
C．8
d．9
9.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a3?2，a2a3a4?16, 则公比q?10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列?an?中，a1?1，公比
q?2，若?an?前n项和Sn?127，则n的值为．
11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9?81，则a2?a5?a8?．
12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an??
2n?32
*，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A?{x|x?2an,n?N}，4Tn?12Sn?13n，B?{y|y?4bn,n?N}．若等差数列{cn}任一项cn?A?B,c1是A?B中的最大数，且
*
?265?c10??125，求{cn}的通项公式．
等差、等比数列知识点
一、等差数列：
1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：
?an?，若2an?1?an?an?
2an?a1?(n?1)d------该公式整理后是关于n的一次函数
Sn?
n(a1?an)n(n?1)
2Sn?na1?dS?An?Bn n223.等差数列的前n项和 1．?bA?
2或2A?a?b 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：
5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果
an是等差数列的第n项，am是等差
a?am?(n?m)d
数列的第m项，且m?n，公差为d，则有n
（2）.对于等差数列
?an?，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
*??SSS?Sk，S3k?S2kak?Nnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k
S3k
?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k???????????????????????
成等差数列。如下图所示：
（4）．设数列
SkS2k?SkS3k?S2k
?an?是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶?S奇?
S奇n?n?1dS?S?a偶中，S偶，○2当n为奇数时，则奇
则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：
1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。
an?
1?q(q?0)an
2an?是等比aa?ann?2n?1，则数列?②等比中项：若
n?1
??aa?aann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。
3.等比数列的前n项和:○1
Sn?
a1(1?qn)
(q?1)
1?q
○
2Sn?
a1?anq
(q?1)
1?q
○3当
q?1时，Sn?na1 ?ab。
4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:
（1）．等比数列任意两项间的关系：如果
an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，qan?amqn?m
公比为，则有
（2）对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???。
（3）．若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数
????????????S?3k????????????a?1??a?2??a?3??????a?k?a?k??1???????a?2k?a?2k??1???????a?3k
列。如下图所示：SkS2k?SkS3k?S2k
基础练习
一、选择题：
1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）
(A)4(B)5(C)6(D)7
2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1?1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（）
a．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为SS
4n，则a?（）
25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（个个个个
6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）
(A)30（B）45(C)90(D)186
7．已知数列?an?*
对任意的p，q?N满足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（）
a．?165B．?33C．?30D．?2
18．设{an}是等差数列，若a2?3,a7?13，则数列{an}前8项和为（）
Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56
9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）
10．记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，S4?20，则该数列的公差d=（）
a．7B.6D.2
11．记等差数列?an?的前n项和为Sn，若a1?1
2，S4?20，则S6?()
a．16B.246D.48
a2,aa1?
1?n?1?n?ln
12．在数列?an??中，??1?n??，则an＝（）
2)
a．2?lnnB．
二、填空题：
1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=
2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32??n?1?lnnC．2?nlnnD．1?n?lnn +t，则t=
3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=
4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前或项和最大。
5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An?3n?1 n
Bn2n?
3求：（1）a15b15=（2）an= bn
6.等差数列{an}的公差d?1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=
27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是
8．在数列{an}在中，an?4n?52*2，a1?a2??an?an?bn，n?N,其中a,b为常数，则ab?
52an?4n?{a}a?a??a?an?bn，n?N*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，lin??an?bnan?bn的值是
10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 =
三、解答题：
1．已知数列
n项和
S与SSS与Sa设Snn.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。??
求数列
?an?的通项．
3.等差数列{an}的前n
项和为Sn，a1?1S3?9?求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
4.等差数列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比数列，求数列?an?前20项的和S20．
等差数列 a1, a1?d, a1?2d, …… a1?(n?1)d等差数列求和
a1?a2?a3???an?a1?a1?d?a1?2d???a1?(n?1)d?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22
n(1?n)2特例：1?2?3??n?
等比数列 a1,a1q,a1q2,?,a1qn?1
等比数列求和
a1?a2?a3???an?a1?a1q?a1q???a1q2n?1a1(1?qn)?1?q
类比探究等差数列和等比数列的性质
上海市桐柏高级中学李淑艳 马莉
上海市普陀区教育学院刘达
一、案例背景
本课的教学内容是上海市高中课本《数学》（华东师范大学出版社）高中二年级第二学期《数列与数学归纳法》章节的数列性质探究课。
上海市《中小学数学课程标准（试行稿）》提出：普通中小学课程的基本观念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展和可持续发展。并指出：“关注学生学习的过程，通过创设学习情境，开发实践环节和拓宽学习渠道，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极情感形成的统一”。在顾泠沅博士的“三个阶段、二次反思、行动跟进”的行动教育研究模式下。本课例从“背景研究”，“教学实践”和“评价反思”，都是在“以学定教”原则的基础上的。从教材体系来看，等比数列概念的学习就渗透类比的研究方法，鉴于学生的实际水平及乐于思考新问题的特点，我们设置了有一定层次的供类比的数列问题，同时也对学生学习过程可能出现的情况进行了预测。同时根据学生目前现状，以及教材内容收集、整理、提炼利用类比的思想方法，研究数列中问题等有关素材，在自我理解的层面上设计教学目标、教学思路及手段、教学过程，先进行第一次教学尝试，然后进行反思；再请专家、教研员、教研组长、全体组员在听取本人的设计初衷及反思后进行全方位的再设计与指导，而后开设公开课进行教研，在系统评价的基础上，再进行第二次实践；第三次看目标的达成度与教师理念的转变、教学经验与教训的总结。我们就是按照这种“行动教育”模式开展课堂教学研究的。
二、目标分析
本课教学目标的确定围绕着“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂教学模式。探索如何运用研究性学习的学习模式在《等差数列和等比数列的性质探究》教学中融合类比的本课希望通过“类比——发现——自悟”的教学模式，引导学生体会类比在数学教学中的三个维度：“一维——知识结构上的类比；二维——证明方法上的类比；三维——学生自主的理性思想方法的类比。”
三、教学流程
首先通过科学事实——鲁班造锯的典故引入类比思想，然后提出第一维问题（以回顾的通过这一回顾，学生能从“第一维”层面上开展类比学习，体会等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。
在基本认识了类比探究方法之后，教师通过问题提升本节探究课活动性和探究性，设置了若干性质探究的问题供学生思考。
问题1：在等差数列?an?中，若项数数列?kn?是等差数列(kn?N)，则akn仍是等差数
列。
类比：若?an?是等比数列，当?kn?(kn?N)是数列时，akn是数列。
问题一是在学生已掌握“数列?an?是等差数列，对?an?中下角标成等差数列的项也成等差数列”这一性质后，将“文字语言”转化成“符号语言”，让学生来类比等比数列中相应的性质，并加以证明。学生一方面从形式上加以类比，另一方面，从证明方法上也进行类比证明。这样的问题，在学生理解性质后，初步体验了发现问题并解决问题的“类比”方法。
问题一结束后，启发引导学生如何类比并得到正确结论？经历运用类比思想方法研究数列问题的过程。
问题2：有一位同学发现：若?an?为等差数列，则?an?1?an?也成等差数列。由此经过类比，他猜想：若?an?为等比数列，则?an?1?an?、?an?1?an?也为等比数列。你认为呢？
问题二是一道开放性问题，有近85%的学生最初得到了?an?1?an?、?an?1?an?也为等比数列，并有部分同学给予了“证明”。学生初步感觉到“和”与“积”的类比，“差”与“商”的类比。此时，教师再抛出一个问题：“积”为等比数列，那么“和”呢？在你证明完“积”为等比数列后能说明“和”不是等比吗？对于这一问题，学生根据前面两个问题的解决已经隐约体验到类比不但是形式上的模仿，其证明方法、考虑角度也可进行类比，说明这种思考问题的方法已不自觉地纳入他们的思维体系之中，下面是一段课堂实录：
师：对刚才问题，同学可以得到什么结论？
生1：我判断并证明了等比数列的“和”仍然是等比数列，且公比什q。
（师环视四周，似乎每个人都投以赞同的目光，并且频繁点头表示同意）。
生2：我有点不同意（全班只有他一人有不同意见），我觉得，对数列-1，1，-1，1，?这个数列来说，其和不是等比数列。（此时全班恍然，都认为是正确的）
师：我们来看一下生1的证明过程（投影仪）： ?????an?1?ana(q?1)?n?（常数）q，an?an?1an?1(q?1)
??an?1?an?是等比数列。你们看证明过程严密吗？
生3：当q=－1时，他的第二步不成立。（此时同学们又都给予肯定）。
师：答得好。本来我们不知道这一反例，但在证明过程中发现了问题的存在，由此找到了反例，说明同学们在发现问题时，能够进行大胆猜想、小心论证的严密的科学态度。
师：学到这里，你有什么样的感受呢？
生4：在等差数列和等比数列的类比中，我发现除了形式上存在着类比之外，正确的要加以证明，错误的可以举出反例。
生5：我感到就算是类比的结论在形式上未必一致，但证明方法有相似之处。
这番交流的过程中，学生的思维几经“冲浪”辗转，他们的好奇心和探索热情已被唤起，严谨的数学发现历程正在探索中内化着。
问题3：一位同学发现：若Sn是等差数列?an?的前n项和，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？
问题4：我们知道对于等差数列?an?，a1?a2?a3???an?na1?n(n?1)d成立。通过
2类比，尝试发现等比数列中的相似结论并给予证明.问题三的设计和问题四是结合在一起的，设计问题三的时候考虑到学生有可能只能通过证明找到反例从而得出Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不成等比数列的结论，而对类比的结论有困难，甚至会有同学得出Sk,S2kS3k成等比数列的结论。对于问题四，可以将问题三沟通起,SkS2k
来探索。经过讨论、形式上类比、对结论进行论证。我们可以在学生最终明确结论后再回到问题三，让同学们进一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比数列”的说法虽然不对，但在“类,SkS2k
比——发现”的探究过程中也有不少新的收获。继而提问：如何改动使得结论成立？这个过程，将“类比——发现——自悟”模式的核心——学生在思维上经过反复的类比、验证，自我领悟并掌握类比的思想方法——完全体现在了教学过程中。
四、教学反思
第一次教学之后，在教研员、教研组长等老师的指导下，总结了以下一些不足：
1．在教学设计时，偏向于行形式上类比，尽管在形式上的类比达成度较高，但反映在数学实质上的内容偏少；
2．问题之间的联系不是很好，问题似乎有些孤立；
3．题目偏多；
为此，教师在教学设计的调整过程中关注了这两个方面：
1．为将“类比——发现——自悟”的模式更加清晰地在教学中体现，教师的教学设计由重形式向重思维方式转变；
2．精选例题，设计的数学问题关注一题多变、多题环环相扣的连锁关系，同时体现思维“严密性”，并且搭建脚手架，帮助学生努力实现“发现——自悟”的过程。
在公开课教学之后，听课老师以及学科组的专家在一起再次开展了评课探讨，结合教师的反思总结如下：
1．本堂课是等差数列与等比数列性质的类比，在学生经历了类比的学习后，能够体会：从形式上得到类比的特征，从本质上体验思维的过程，了解类比不仅是形式上的“相似”，而是从相似中得到结论，再由论证使之成为类比。这样的教学模式，有利于激发学生的思维，使学生在辩证中掌握类比的思想方法。
2．本堂课知识目标的达成度较好，学生能够基本掌握类比的特征，但学习过程中教师没有刻意地总结、引导，学生在探究过程中以体验为主，只是学生对于“类比——发现——自悟”的探究方式仍略显模糊，需要今后不断尝试采用类似地教学方法促进学生的研究性学习方式的形成。
3．教师在平时应时时具备二期课改的理念，重视学生的思维活动。比如，在问题二中，有学生提出反例：在数列-1，1，-1，1，-1，1，?中，an?1?an?0，所以?an?1?an?不是等比数列。教师应加以表扬，并紧接着提问：你是怎样想到这个反例的，你能得出什么样的规律？如果这位学生不能回答清楚的，可以再回顾他们的证明过程，从中寻找问题所在。这样不但顺应了学生的思维结构，而且在老师的点拨下，学生能进一步更深层次地考虑问题，从而为问题三打下伏笔。
4．在学生有困难的地方可以预先做准备工作，这样可以使这堂课的达成度更高。比如，在问题三中，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是非常抽象的，它牵涉到子数列的问题，而且在原设计中是“数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?,S(k?1)n?Skn是等差数列，请同学在等比数列中进行类比”，但由于证明过于抽象，学生不容易理解，因此改为上述形势，而且考虑如果在课前能举一些例子，渗透子数列的概念，学生理解起来也许更容易。
因此在下一堂的课中，作了如下改进：
1．在等差数列复习中，将问题2、3在等差数列中的情况进行证明，再事先将等差数列的证明打在幻灯片上，如果在课堂中学生在证明等比数列的过程中遇到困难的话，就可以把等差数列的证明显示给他们看，从而使他们体验到证明的方法也可以进行类比，更加凸显类比的本质特征。事实上，在本堂课中也达到了这样的目的，学生的掌握度也更好了。如：在证明问题3的时候，有的同学利用前n项和公式证明较为繁琐，而有的同学很快就得出结论，她说：“证明是类比等差数列的思路和步骤，结论是类比问题二得出的。”这就充分说明她已经掌握了类比的本质，表明经历几次设计问题并逐步解决、探索，学生正体验着数学思想和方法，领悟其价值，滋生应用意识。
2．因为问题2和问题3是同类型的问题，尤其是它们的证明以及在证明过程中发现反例的这一思路是相近的，所以为了提高课堂效率，这里就采取分组的方法，请两组同学解决问题二，另两组同学解决问题三，再进行讨论总结。实施下来，时间缩短了，而且有了比较，同学的积极性也提高了，大大地提高了课堂的效率。并且把原先在上课时来不及解决的推论解决了，使得学生的思维得到延伸，而且使学生对类比的本质特征有了理性上的认识，从而达到了第三维：学生自主的理性思想的类比。
通过“类比——发现——自悟”的初步实施，学生在自主的学习和探究过程中体验知识发生的过程，通过对产生的见解的辩论进行了思维方式的转变，使得学习方法得到了改善，为他们今后的学习带来了信心和严谨的思维方式，其效果应该说是显见的。教师方面，我们得到的感受是：教学理念得到了很大的提升，尤其对于“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂教学模式的初步应用的效果启发我们在平时的教学中应多为学生创设学习氛围和问题情境，教学设计应多从学生的认知基础和原有的知识结构出发，帮助学生在学习过程中体验、感悟学习经验。另外，用先进理念和经验指导教学，能使自己不断加深对课改理念的理解，并逐渐内化为自身的教学风格，促进自身业务水平的提高。
参考资料：
[1] 廖哲勋：关于课堂教学案例开发的理性思考——《中学数学教学参考》
[2] 郑毓信：《数学方法论》 广西教育出版社
《等比数列》导学案
学习目标：理解等比数列的概念；了解等比数列通项公式的推导过程；掌握等比数列通项公式；能应用等比数列通项公式求基本量 自主学习：
1.观察以下几个数列具有什么共同特征：
(1).1,2,4,8,16(2).?1,4,?16,64(3).x,x2,x3,x4，xn,(x?0且x?R)
等比数列概念：如果一个数列从起,每一项与它前一项的等于,那么这个数列叫做等比数列.其中该常数叫做等比数列的,常用字母表示.数学符号语言表示：.2.已知数列{an}为等比数列，首项为a1，公比q，试求数列{an}的通项公式(类比等差数列通项公式推导过程).课堂检测：
1.判断下列各数列是否为等比数列:(1).11,2,1,2,1;(2).?2,?2,?2,?2;(3).1,?，?,;(4).2,1，,0
.已知数列{an}是等比数列,分别计算下列各小题
(1).已知 a1?1,q?2,an?64,求n;
(2).已知a5?4,a7?6,求a12 1?a6?34,a6?a2?30,求a4;
(4).已知a2?4,a5??,求
2(3).已知已知递增数列{an}为等比数列,且满足a2列,试求数列{an}的通项公式.?a3?a4?28,又a2,a3?2,a4构成等差数
4.已知数列{an}满足an?1(1).证明数列{an
课堂小结：
课后练习：
1.计算下列各小题:(1)在等比数列{an}中,(2)在等比数列{an}中
1)前三项分别为5,?15,45,求a4和an 2)若a5
2.已知an?2an?1(n?N*),且a1?1
?1}是等比数列;(2).求数列{an}的通项公式.an?0,且a1?a5?16,a4?8,求a5
?16,an?256,q?2,求n
?3?2n(n?N*),证明:数列{an}是等比数列(利用定义证明),并判断
66是否为该数列中的项.
一、教学目标:
1.知识与技能:理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法:通过观察、类比、猜测等推理方法,提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观:体会类比在研究新事物中的作用,了解知识间存在的共同规律。
二、重点:等比数列的性质及其应用。
难点:等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们,我们已经学习了等差数列,又学习了等比数列的基础知识,今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿,让大家做了预习,现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称 等差数列 等比数列
定义 一个数列,若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数,则这个数列是等差数列。一个数列,若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数,则这个数列是等比数列。
定义表达式 an-an-1=d(n≥2)
(q≠0)
通项公式证明过程及方法
an-an-1=d;an-1-an-2=d，?a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+?+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法;??.an=a1q n-1 累乘法
通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒体投影(总结规律)
数列名称 等差数列 等比数列
定 义 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定 义
表
达 式 an-an-1=d(n≥2)
通项公式证明
迭加法 迭乘法
通 项 公 式
加-乘
乘—乘方
通过观察,同学们发现:
? 等差数列中的 减法、加法、乘法，等比数列中升级为 除法、乘法、乘方.四、探究活动。
探究活动1:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。
练习1 在等差数列{an}中,a2=-2,d=2,求a4=..(用一个公式计算)解:a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2
等差数列的性质1: 在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m 性质证明 右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边
应用 在等比数列{an}中,a2=-2 ,q=2,求a4=.解:a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活动2:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。
练习2 在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为.解:a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差数列的性质2: 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的,当m=n时,2 an=ap+aq
猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中,若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的,当m=n时,an2=ap*aq
性质证明 右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边 证明的方向:一般来说,由繁到简
应用 在等比数列{an}若an&0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=.解:a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于an&0,a3+a5&0,a3+a5=6
探究活动3:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。
练习3 在等差数列{an}中,a30=10,a45=90,a60=.解:a60=2* a45-a30=2×90-10=170
等差数列的性质3: 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项, 则这些项构成新的等差数列,且2an=an-k+an+k
an即时an-k,an,an+k的等差中项
猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项,则这些项构成新的等比数列,且an2=an-k*an+k> an即时an-k,an,an+k的等比中项
性质证明 右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1)2t=an2左边 证明的方向:由繁到简
应用 在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=.解:a60= = =810
应用 等比数列{an}中,a15=10, a45=90,a60=.解:
a30= = = 30
a60=
探究活动4:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。
练习4 设数列{an}、{ bn} 都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.解:a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差数列的性质4: 设数列{an}、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列 两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列
猜想等比数列的性质4 设数列{an}、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列 两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列,两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。
性质证明 证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1;{bn}的首项为b1,公比为q2,设cn=an?bn那么数列{an?bn} 的第n项与第n+1项分别为:
应用 设数列{an}、{ bn} 都是等比数列,若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=.解:由题意可知{an?bn}是等比数列,a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。
由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位,以学生的自主学习,自主探究为主题,以教师的指导为辅,开展教学活动)
五、等比数列具有的单调性
(1)q<0,等比数列为 摆动 数列, 不具有 单调性
(2)q&0(举例探讨并填表)
a1 a1&0 a1<0
q的范围 0 q=1 q&1 0 q=1 q&1
{an}的单调性 单调递减 不具有单调性 单调递增 单调递增 不具有单调性 单调递减
让学生举例说明,并查验有多少学生填对。(真确评价)
六、课堂练习:
1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于().?7? c.?6 d.?
解析:由已知得a32?=5,? a82=10，∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.答案:4
3、+1与-1两数的等比中项是(). b.?-1 c.? d.±1?
解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选d
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于(). b.? c.? d.?
解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c
5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14，它们的积等于64,求这三个数。
分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数
为: 根据题意
再由方程组可得:q=2 或
既这三个数为2,4,8或8,4,2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。
八、§等比数列的性质及应用
性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m
性质二:在等比数列{sp;c.?6 d.?
解析:由已知得a32?=5,? a82=10，∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.答案:4
3、+1与-1两数的等比中项是(). b.?-1 c.? d.±1?
解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选d
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于(). b.? c.? d.?
解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c
5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14，它们的积等于64,求这三个数。
分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数
为: 根据题意
再由方程组可得:q=2 或
既这三个数为2,4,8或8,4,2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。
八、§等比数列的性质及应用
性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m
性质二:在等比数列{